lunes, 7 de enero de 2008

evaluacion de proyectos, elaboracion de proyecto (IV)

 

segiomos con la cuarta parte de esta entrega para evaluacion de proyectos para estudiantes de administracion

Intervalos de confianza y valores t

Los errores estándar del coeficiente de regresión y el valor t permiten evaluar una probabilidad de que el B verdadero esté entre límites específicos. Estos límites sabemos que se llaman intervalos de confianza, para lo cual se utiliza una tabla de probabilidad de la distribución t

La tabla de distribución de probabilidad de la t student presenta el siguiente bosquejo


n T.0995 t.099 t.0975 t.095 t.090 t.005
1      
2      
3      
       

 

n indica el tamaño de la muestra menos dos grados de libertad

 

 

 


Recordemos la muestra que utilizamos:

Año X Y(vtas) XY X² Y²
79 -5 10 -50 25 100
80 -4 20 -80 16 400
81 -3 30 -90 9 900
82 -2 45 -90 4 2025
83 -1 70 -70 1 4900
84 0 90 0 0 8100
85 1 125 125 1 15625
86 2 150 300 4 22500
87 3 180 540 9 32400
88 4 220 880 16 48400
89 5 270 1350 25 72900
∑ 0 1210 2815 110 208250
PROM 0 110   


Esta muestra tiene 11 datos, luego n= 11-2= 9
Si queremos establecer un intervalo de confianza para B con un 95% de probabilidad debemos hacer lo siguiente:
(b +-  t  *  Sb)
En este caso…
b+- t0.025 * Sb

Como estamos trabajando con un 95% de probabilidad, queda un 5% al azar; la distribución tiene 2 colas, 2,5% para cada una, por eso utilizamos t0.025
Posteriormente en la tabla de probabilidades, encontramos aquel valor que corresponda a t0.025 y n= 9 (2,262)
25.59 +- 2.262 * 1.77
25.59 +- 4
25.59 + 4 = 29.59
25.59-4 = 21.59
Con un 95% de probabilidad el valor de b se encontrará entre 21,59 y 29,59

Ejercicio


La empresa "los Almendros" tiene 40 puntos de venta en todo Chile. Estudios que cubren las sucursales en ciudades con una población de 10.000 a 400.000 habitantes, muestran una relación definida entre las ventas y la población.
Se han obtenido los siguientes datos:


^Y = 200.000 + 5*X

y=a+bx


 
Donde ^Y = ventas anuales estimadas
              X = población
              Se= 20.000
              r= 0.85

 


Se han hecho estudios de mercado en dos ciudades en el as cuales la empresa no tiene sucursal y se ha pedido una predicción del total de las ventas para cada una de las localidades


Población A    200.000 habitantes
Población B     500.000 habitantes


a) que nivel de ventas anticiparía Ud. en la ciudad A con una confianza del 95% en su resultado
b) Haga una estimación de las ventas para la ciudad B señalando que grado de confianza aplicaría a estos resultados


^Y = 200.000 + 5 * X

Para A:

200.000 + 5 * 200.000   =  1.200.000

Para B:

200.000 + 5 * 500.000 = 2.700.000

¿Será confiable esta estimación?

Tenemos las ventas proyectadas para las ciudades A y B
Cabe preguntarnos si es confiable la ecuación de regresión  para pronosticar. Si no lo fuera, los resultados obtenidos no son validos

Si observamos el r², podemos apreciar que la regresión explica en un 72,25% la variación en las ventas (r=0.85; 0.85 * 0.85 = 0.7225), siendo el 28% restante explicado por otros factores.

Para determinar la exactitud de la línea de regresión, nos fijamos en el error estándar del estimado, el cual nos permite determinar un intervalo de confianza de las ventas proyectado para ambas ciudades

Con un 95% de probabilidad las ventas estimadas para la ciudad A serán:

^Y +- 2 Se

1.200.000 +- 20.000 * 2

1.200.000 +- 40.000

= 1.160.000 ;  1240000

 

 

 


Con un 95% de probabilidad las ventas estimadas para la ciudad B serán:

^Y +- 2 Se

2.700.000 +- 20.000 * 2

2.700.000 +- 40.000

= 2.660.000 ;  2.740.000


La ecuación de regresión la hemos determinado con ciudades de 10.000 y 400.000  habitantes , como la ciudad B tiene 500.000 habitantes, podríamos señalar que la regresión es menos confiable para predecir las ventas en esa ciudad, por lo que es conveniente admitir un mayor grado de de error

Si trabajamos con un 68% de probabilidad las ventas fluctuarán entre los siguientes valores:

^Y +-  Se

2.700.000 +- 20.000

= 2.680.000 ;  2.720.000


Ejercicio:


1) Determine el intervalo de confianza si:

N = 15

Sb = 0.8

a) 90%

Deberemos utilizar la t de student ya que lo que ahora buscamos es los límites en los que se encuentra el verdadero b

 

 

 


2) Se tienen los siguientes antecedentes en relación a las ventas:

 

 año (x) ventas(Y) cuadrado X Cuadrado Y XY
 1 7763 1 60264169 7763
 2 8754 4 76632516 17508
 3 10257 9 105206049 30771
 4 14403 16 207446409 57612
 5 13111 25 171898321 65555
 6 14528 36 211062784 87168
 7 15891 49 252523881 111237
 8 18082 64 326958724 144656
 9 17073 81 291487329 153657
 10 20518 100 420988324 205180
 11 21220 121 450288400 233420
 12 23200 144 538240000 278400
 13 25150 169 632522500 326950
 14 24215 196 586366225 339010
suma 105 234165 1015 4331885631 2058887
promedio 7,5 16726,07143 72,5 309420402 147063,357
n  14   


Encuentre la recta regresión, determine su confiabilidad y pronostique las ventas con un 68% y 99% de confianza

 

Desarrollo:

90% confianza

5%   90%  5%

(b+- (t0.05 * Sb)

16 +- (1.77 * 0.8)

16 +- 1.416

14.584 ;  17.416

El b se encontrará en ese intervalo con un 90% de probabilidad
 

 


Siguiente ejercicio:

a)

B=                   n∑xy-(∑x)(∑y)
                       n∑x²-(∑x)²

 

(14 * 2058887)   -     105 * 234165

(14 * 1015)  -  (105 * 105)


b=      4237093

         3185


b=  1330,327473

 

a=      ¯y – b ¯x

a= 16726,07143  -   (1330,327473 * 7,5)

a=  6748,615385


Recta regresión:

^Y = 6748,615385  +  1330,327473  *  X

 

 

 

 

 

 

b)

r²=   (n∑xy – (∑x)(∑y))² /
       (n∑x² - (∑x)²)(n∑y² -  (∑y)²)

 

{ (14 * 2058887)  -  ( 105 * 234165) }²  /
   ((14 * 1015)  -  11025)   *  ( ( 14 * 4331885631)  -  54833247225)
r² = 0,969649787


Determinación de confiabilidad:


El 96,96% de la regresión es explicado por las ventas históricas, por lo que tiene un 96.96% de confiabilidad


Pronóstico de ventas e intervalo de confianza


Pronóstico para el año 15

^Y = 6748,615385  +  1330,327473  *  X

^Y = 6748,615385  +  1330,327473  *  15

^Y = 6748,615385  + 19954,9121

^Y = 26703,5275

Las ventas para el año 15 serán del orden de 26703 con un 96% de probabilidad

 

 

 

 

 

 


Con un  intervalo de 68% y 99%:


Sea  Se= error estándar de la regresión

Se=   raiz de
 
 ∑Y² - a ∑Y – b ∑ XY  /
       n - 2

 

 

 


Se=     raiz de

4331885631  -    ( 6748,615385 * 234165)  -  (1330,327473   *  2058887)
                                                                               /      14-2

 

 

 

raiz de

4331885631  -  1580289521,628530000 -   2738993939,902550000  /
        
                                                                                       12

 

 

 

 

                                                                                     raiz de    12602169,468924000 /                                                                            12
Se=   
                         


raiz de         1050180,789077000

 


Se=     1024,783288836

Con un 68%
   (^Y - Se) ; (^Y + Se)
(26703 - 1024,783288836)  ;  (26703 + 1024,783288836) 
= 25678,216711164 ; 27727,783288836

Con un 99%
   (^Y - 3Se) ; (^Y + 3Se)
23628,650133492 29777,349866508

 

 

 

 

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http://rie.cl/?a=132818  articulo 2

http://rie.cl/?a=132832  articulo 3

http://rie.cl/?a=132835  articulo 4

http://rie.cl/?a=132839  articulo 5

http://rie.cl/?a=132841  articulo 6

http://rie.cl/?a=132871  articulo 7

http://rie.cl/?a=132883  articulo 8

 

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